关于无穷大数与无穷小数的定义
关于无穷大数与无穷小数的定义
彭哲也(人在井天)
1.能不能找到一个绝对值比所有非0的实数的绝对值都小的实数?答案是不能,任何一个数,如果它不是0,就必可以再分,必可以找到绝对值比它的绝对值更小的数.从这个意义上来说,并不存在一个确定的无穷小数.但我们在实际的应用中必须要有一个无穷小数的概念.因此我们可以人为地定义,存在一个数,它的绝对值小于任意给定的非0实数的绝对值.这个数就叫作无穷小数.在现实中并不能找到一个与这个数完全相符合的确定的数,所以无穷小数这个概念其实是无限近似地反映了这一现实.但是我们必须引进这一概念,如果不引进这一概念,很多时候我们将无法表述,我们将无法更接近地反映现实.为了和后面的无穷小数区分开来,我们不妨把这个无穷小数叫作绝对无穷小数.
2.能不能找到一个数,它的绝对值大于任意给定的实数的绝对值?回答是不能,任何给定的实数,都必可以找到一个比它更大的数.从这个意义上来说,并不存在一个确定的无穷大数.但是在实际的应用中我们必须要引进无穷大数这个概念.因此,我们可以人为地定义,存在一个数,它的绝对值大于任意给定的实数的绝对值.这个数就叫作无穷大数.在现实中并不能找到一个与这个数完全相符合的确定的数,所以无穷大数这个概念其实是无限近似地反映了这一现实.但是我们必须引进这一概念,如果不引进这一概念,很多时候我们将无法表述,我们将无法更接近地反映现实.为了和后面的无穷大数区分开来,我们不妨把这个无穷大数叫作绝对无穷大数.
3.前面我们定义了绝对无穷大数和绝对无穷小数,为了实践的需要,我们还必须定义相对无穷大数和相对无穷小数.
4.我们规定绝对值大于任意给定的有限实数的绝对值的实数为无穷大数(相对无穷大数).同样我们规定绝对值小于任意给定的非0的有限实数的绝对值的数为无穷小数(相对无穷小数).
5.那么什么是有限实数?能不能找到一个绝对值比所有有限实数都大的有限实数?回答是不能.所以所谓的有限实数也只是和无限实数相对而言的,离开了无限实数我们将无法理解有限实数.无限实数与有限实数之间并没有绝对的分割线.
6.相对无穷大数和相对无穷小数满足于实数的一切特性.
7.绝对无穷大数和绝对无穷小数虽是现实中不存在的数,但经过恰当的解释可以参与实数运算.无穷大数加上任何正数还是无穷大数,这是无穷大数的最基本的特点.这一特点规定了无穷大数的一切特点,也由此规定了无穷小数的一切特点.
8.以上的观点,我主要是从哲学的角度出发而作出来的,算是给数学界朋友们抛砖引玉吧!
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