1与0.99......的关系
彭哲也(人在井天)


S1=0.9=9/10
S2=0.99=0.9+0.09=9/10+9/10^2
S3=0.999=0.9+0.09+0.009=9/10+9/10^2+9/10^3
......................
Sn=0.99..........=0.9+0.09+0.009+..........=9/10+9/10^2+9/10^3+.........9/10^n=(10^n-1)/10^n

当n→∞时,则有
limSn=lim(10^n-1)/10^n=1
但是我们可以知道.虽则limSn=lim(10^n-1)/10^n=1.但并不存在Sn=1.
当n→∞时,Sn=0.99.............(无限循环).由于并不存在Sn=1.所以也并不存在0.99.............(无限循环)=1

结论

Lim0.99...........=1
0.99..........≠1
0.99..........严格地说来并不是一个确定的数.

但是数学上人为地了定义1=0.999..........这是可以的.但必须说明这一点.严格地说,数学上是根据实数是稠密的这一原理而计算出1与0.99.....相等的.但除此之外,在精确的证明中是不能得到1与0.99....相等的.
这里面的要点则在于,0.99....究竟是不是一个确定的数.如果是,它当然等于1.如果不是,它是没有办法等于1的.要证明0.99.........不是一个确定的数是容易的.小数点后面的9的个数是多少个?很显然是无穷多个.但数学上并不存在一个确定的无穷大数,所以小数点后的9的个数并不是一个确定的数.所以0.99........不是一个确定的数.但数学上人为地定义这是一个确定的数,这种人为的定义是可以的,它在一定的范围内正确地反映了这一现实.但必须指出它的成立是有条件的.

再论小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误(上网版)
+ O5 ]4 d$ Q& B4 Y0 K8 V——不识“更无理”数必使人犯极低级错误& t9 Z2 c0 B+ O& j) \( A% H; R9 B
黄小宁       通讯：广州市华南师大南区9—303第二信箱，510631
) n# l" a- p6 O1 m   [摘要] 削足适履地定义非0误差0.999…—1= 0就是定义1/10n(指数)→0能到达0处，这是小学生也能一眼看出的违反起码数学常识的重大错误。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的极荒唐错误思想方法。此方法成功地掩盖了这一事实：无限循环小数是异于任何已知数的“更无理”数、已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球罢了！3 n- Z6 y7 E, P, Y4 C; J8 V5 }
关键词  小学数学；2500年常识性错误；分形几何；0.99…≠1；有首、末项的无穷数列；无限循环小数并非有理数 8 E; o  R( y9 ~! R: T  T3 K
   早在认识无理数之前数学家们就断定1—0.99……= 0了。其实这是2500年的常识性错误。

“精确”的百年极限论是自相矛盾的理论的原因
黄小宁
（广州市华南师大南区9-303  邮编510631）
数列A：0.1，0.01，0.00 1，…，1／10n（n是指数，以下同），…（n项必 十倍于n＋1项）
数列B：10,100,1000,…, 10n,…(充分后的项都>“任意给定”的正数ε)
数列C：0.9，0.99，0.999，…，1－1／10n，…（n项必 < n＋1项）
数列A的各项均为正数且第n项是n位小数，各项都有末尾且末尾都是1，各末尾外的数字都是0。由于这是各项均为具体、确定的数的无穷数列，故其中必有无穷多各大小不同的形如（变量1／10n =y→0表示其从某时刻起以后所取各正数y均＜“任意给定”的正数ε）
0.00…01＜ε（1与小数点相隔写不完的那么多个0，如1与2之间的实数多得写不完一样。）
的无穷多个小数位的用而不知的无穷小正数（其倒数100…00是无穷多个1的和：用而不知的无穷大自然数或超自然数）。然而这却是有头有尾的一串数字。不明此理者不知何为无穷数列、何为极限论（极限论断定“无穷小数列”A中从某项起以后各项均是＜ε的正数。然而极限论又断定“定量中只有0才是无穷小”，这暗含此意：任何正数都不能 <ε,即“偷偷”地否定有<ε的正数，有的书本直接断定：没有<ε的正数。这表明极限论是出尔反尔、自相矛盾的学说，详论见[1]。）。可见有相应的有首、末项的无穷数列0，0，…，0，1。对无穷现象的幼稚认识使数学5千年来一直误以为有首项的无穷数列必无末项。
据极限定义两者若没有减法运算从而没有距离关系，就更谈不上有一者→另一者。数列与非数列有减法运算吗？数列{1/2，1/3，…，1/n，…}-5=？可见数列是不能以非数列为极限的！
固定的数列本身不是随n→∞的变化而变的变数即不是n的函数且与数之间没有距离关系。“数列A的极限0”其实是数列A的项1／10n =f的极限=0。而f本身是永远>0的！
y→b是说y与b趋于重合相等。实变数y只能与实数而不能与非实数的猫狗趋于重合相等，同样，各项都是固定数的固定数列C本身不是变数，与1没有距离关系如何能与非数列的1趋于重合相等？
形成鲜明对比的是各项都是变数的随x的不同而不同的函数列
{n+（1/nx）}→不变化的{n}（x→∞时）。
“林群院士精辟指出：‘数学归根结底也在常识之内。’（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，…，n，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[1]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。数学5千年来一直不识用而不知的无穷大自然数等使极限论是自相矛盾的学说。
参考文献
[1]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话，科技信息[J]，2008（1）：29。
[2]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.  
[3]黄小宁，再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误，教育前沿[J]，2007（12）：110。

1和0.9999......在小学生眼里,1是一个整数,一个最少的自然数.(不过现在0也记为自然数),那1就是排在第二了---呵呵!但0.9和0.99----0.999.....都是小数.而0.999.....是一个无限循环小数,循环节是9,其中优秀的学生也能算出0.99....N个9的有限小数和1相差多少了.现在的学生确实是很聪明的,我想楼主的1和0.999.....的关系等到将来说不定聪明的孩子们会有更新的说法.就如说0是不是自然数一样的会有更新.

0以前不叫自然数,只是最小的整数.现在科学家们又把0归为自然数的集合,这是指它符合特定规定的范围之内的,是有科学依据和实验证明的.是通过反复验证的.否则人们不会接受.

50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1
              ——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数
                               黄小宁
（广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631）
（此文初稿载：科技信息（学术版），2008年第21期）
  [摘要]凡有首项的无穷数列的各项都能配上序号。设正整数集N=｛1=1号数，…，n= n号数，…｝且1号是最小序号，则其真扩集K=｛0=m号数，1号数，…， n号数，…｝，显然有无穷序列1号，2号，…，m-1号，m号。显然：m是N以外的>所有自然数n的超自然数，m-1是与1相隔无穷多个n的最大自然数——5千年来一直不识与否定这类无穷大数及其倒数而误以为“有首项的无穷数列必无末项”的重大缺陷与错误，使级数论有概念性错误而一直误以为无限循环小数是有理数；使康脱脱离健康误入歧途铸成百年更重大错误：集论；使“精确”的百年极限论是自相矛盾的学说而根本不能化解无穷小危机。显然K有m个数。因K外还有负整数、正负分数等等，故表示“多少个”的数n的全体中N 只占极小一部分。从各个方面、角度深入分析论证了：客观存在用而不知的无穷大自然数是无穷多个1的和而与1之间有无穷多个自然数；无穷级数y一般都代表数，只不过有的y是用而不知的无穷大数罢了。
[关键词]中学数学重大错误；最大自然数及超自然数>一切自然数；明否暗用的无穷小、大正数；推翻自然数公理和百年集论；级数论有概念性错误； 有首、末项的无穷数列；0.999…<1不是有理数；化解几百年无穷小危机
一、导言：希尔伯特对“无穷”的错误认识——编序号常识显示存在有首、末项的无穷序列