运用无穷级数求和能破解芝诺悖论吗?
运用无穷级数求和能破解芝诺悖论吗?
彭哲也(人在井天)
有一种思想认为可以通过无穷级数求和的办法解决这个问题(两分法和阿基里斯追龟).
我们设物最后到达终点后所走过的空间距离为1,所走过的时间距离为1.首先我们假设物没有最后一个中点要走,则物走过无穷个中点之后物在空间上所走过的距离s是:
S=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n(n为无穷大)
我们可以看出,这里面的s是无限接近物实际到达的空间距离1.但无限接近并不是等于,也就是说,物并没有最终到达.
现在我们假设物有最后一个中点要走.
则有
S=1/2+1/2^2+1/2^2
S=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^3
.............
S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n
=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1
也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所走过的距离与物实际到达所走过的距离是一致的.
从上面的计算我们可以很简单地看出,物如果到达了终点,它走过了最后一个中点.如果物没有走过最后一个中点,物就不能到达终点.
同理,我们可以算物走过无穷个中点所用的时间.设实际到达的时间为1.如果物没有最后一个中点要走.物走过无穷个中点所用的时间t是:
t=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n
可以看得出,这里的t是无限接近物实际到达终点所用的时间,但无限接近并不是等于.
如果物有最后一个中点要走,则有
t=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n
=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1
也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所用的时间与物实际到达的时间是一致的.
从上面的计算可以很清楚地看得出来,物如果有最后一个中点要走,物所用的时间与实际到达的时间相同.物如果没有最后一个中点要走,物所用的时间只能是无限接近物实际到达终点所用的时间,而不能等于.
所以无穷级数求和的结果是,如果物能到达终点,物必须走过最后一个中点.但是物是如何走过最后一个中点的呢?这里没有半点依据.也就是说,两分法的悖论依旧.或者说,这种无穷级数求和的办法反而更加加深了这个悖论的逻辑性.两分法悖论与阿基里斯追龟悖论其实是同一个悖论的两种表述.两分法不能解决,阿基里斯追龟当然依旧.
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