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人在井天 管理员
 
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小 发表于 2007-11-24 19:30 只看该作者
哲学观点0不是0与数学界朋友商榷
哲学观点0不是0与数学界朋友商榷
关于0不是0的问题
彭哲也(人在井天)
这篇论文是与数学界朋友一场大讨论的结果.讨论的结果是我发现了数学界朋友们在哲学上所犯的一个低级错误.论文太长,先把纲要写在前面.这个纲要也就是主要的论点.
这个问题的实质是,数学应该为形式逻辑统治,还是应该为辩证逻辑统治的问题.
形式逻辑认为,0是0成立,0是非0不成立,A是0与A不是0二者不能同时成立.
辩证逻辑则认为,0是0成立,0 不是0同样的成立,A是0与A不是0同时成立.
数学界并不否认辩证逻辑,但他们认为,数学只能研究形式逻辑,而不能研究辩证逻辑.真是这样吗?他们能够真正地逃离辩证逻辑吗?答案是否认的.
毛 泽 东说,先做学生后做先生!我在百度数学吧做了这么久的学生,现在发现,这个学生做不下去了.因为我们发现我们的老师正在犯一个低级的错误!我们必须经纠正我们的老师的这个低级的错误!醒醒吧!我们的数学大师们!
如果反对0不是0的观点在现代数学上是权威的主流的观点的话,我可以断定,谁率先承认这一观点,谁将在数学上取得突破性的发展. 这也是我们讨论这个问题的一个重要的意义所在!真理最初总是掌握在少数人的手里的!
我们在日常生活中,我们说从北京到上海是多少米,从家里到学校是多少米.我们在这里都是存在着一个标尺的.如果没有一个标尺,我们是无法知道这个长度是多少的.而相对论告诉我们,这个世界上没有绝对的空间,也没有绝对的时间.所以所谓的标尺只能是相对的,而不能是绝对的.所以当我们定义了某一段的距离为0,它必是相对于一个标尺而言的.离开了这个标尺,我们说某一段的距离为0就毫无意义.那么我们定义某一段的距离为0的标尺是什么呢?
我们不妨这样来大胆假设.首先我们否认数学上关于绝对0的观点(严格地说来是引进相对0的观点,并不能完全地舍弃绝对0的观点,否则将会陷入到另一个荒谬之中去.但需指出,在现实中不存在这样的绝对的0).这是关键的关键.数学认为,0就是0,不会是非0.这就是所谓绝对0的观点.而我们则认为任何所谓的0的内部都是包含着非0的.它只所以为0,只是因为它所包含着的非0在一定的条件下是次要的,而是0在这种条件下则是主要的.当条件改变,这种主次就会转化的.简单地说,在一定的条件下是0的东西,改变这个条件,它也就转化成了非0的东西.
设把一段有限的线段无限分割.所得到的每一小段的距离我们规定它都是0.但是把这每一小段加起来,却能得到不是0的结果.这是因为在相加的过程中,0中所包含着的非0就从次要面转化成了主要面了.原因则在于0中的0+0=0.但0中的非0在相加中却壮大起来了.这就是量变引起质变的经典应用了.
这样我们就能够极简单地解释,为什么点的长是0,而由点所构成的线的长却不是0.数学上对这个有很复杂的解释,但像我这样的解释却能简单地而切中要领.(下面将继续谈这个问题.)上面我们看到0转化为非0是由于量变引起质变,同样的我们可以得到,把有限的线段无限分割,也由于量变转质变的原因,而使得每一小段由非0转化为了0.这样,在这里,无论是0转化为非0还是非0转化为0,其中都有质量互变规律在起作用.
从哲学上来看,以上的观点已经是非常完善和清楚了.但估计数学界的朋友是不能认同的.但历史将迫使他们承认的.
以上的数学表述式就是:0=0
0+0+0.....+0≠0
概括成一句话就是0不是0.
从我们引进了相对0的论述中我们可以看得出来.在一定的标尺下,我们所谓的某一段的长度是0,如果我们缩小这个标尺,那么我们将得到这一段的长度不是0的结果.这是引进相对0的观点的精髓所在.这样我们任意给定一段长度是0的线段,我们都可以通过改变标尺而使之变为非0.但在这个标尺之下,我们对这段非0的线段继续分割,我们总能得到最后的每一小段相对于这个标尺而言是0的结果.这样,任何是0的东西,我们都可以通过改变标尺而使之成为非0.而任何非0的东西,在任何给定的标尺之下,我们都可以把它完全分割为每一小段是0的东西.也就是说,任何非0的东西纯粹是由0的东西所构成.
这样我们可以看到,对于任何一段有限的线段,我们都可以在这段线段本身找到测度它自身长度的标尺.我们把这段线段无限等量分割.所得到的全部每一小段组成的集合是一个可数的无穷大集合.我们现在规定:这每一小段的距离是0,而任何这样的两段相加的长度不是0.这样我们就得到一个标尺.用这个标尺我们可以度量任何大于这个标尺的线段的精确长度.而我们对0的度量在这个标尺下同样的是精确的.
那么所谓的点是什么呢?点就是长度为0的线段(指在线上的点).但是这个长度为0是相对于一个标尺而言的.所以我们所定义的每一个点,当我们改变标尺时,我们都可以得到这个点的长度不再是0,它也就不再是点.于是我们可以对这个所谓的不是0的线段继续无限地分割.但在新的标尺之下,我们总是能够把这个点完全地分割为由是0的点所组成.
以上论述的要点就在于找到一个定义0的标尺.或者数学家们要说,我们对0的定义就是小于任何实数(不包含它自身)的绝对值的实数.这在一定的条件下没什么不可以的.但这个定义是对绝对0的定义.而我们的定义是对相对0的定义.
我们知道,线段是有长度的.线段纯粹由点构成,但点却是没有长度.我们说,点的长度既是0又不是0.可是数学家却告诉你,这话在数学上是错的.
有一篇文章的题目叫作<长度是怎么样炼成的>.说了一大堆的话,把古今中外的哲学家贬得一无是处.但我总算是听明白了一个主要的意思.这就是:数学上对点的长度的定义与对线的长度的定义毫无关系.虽则线纯粹由点构成.但线上所有的点所组成的集合却是一个不可数的无穷集合.所以我们把这样的一个集合中的所有的元素相加不能得到确定的结果.
但是这里面却忘了一个重要的东西,虽则把所有的点的长度(假设有长度)相加,不能得到一个确定的数.但至少我们可以知道一点,如果所有的点的长度都是0(绝对0),则相加的结果的总和必是0.
但是我们的数学家是决不肯定义一个东西的长度既是0又不是0的,因为数学上的0就是0,决不可能是非0.这也就是我们所谓的绝对0的观点.
但是我们不得不问:把一段有限的线段按照一分为二二分为四四分为八地无限分割,这样所得到的每一小段究竟是不是点?数学家肯定只有回答,这样所得到的东西决不叫作点.因为这样所得到的东西是有长度的.而点是没有长度的.
把一段有限的线段按照一分为二二分为四四分为八地无限分割.所得到的所有小段的集合是一个什么样的集合呢?据我看来,是一个可数的无穷大的集合.因为这个集合与全体正整数集合是等势的.我们可以把这个集合中的每一个元素与全体正整数的集合一一对应起来.既是可数的,那么就可以对这所有的小段进行相加.
把这所有的小段相加所得到的结果就是这段线段的总长.这种相加是能够的,运用极限求和就能得到精确的结果.
设有一个理想的物体A是一个没有长度的点.它在一段有限的线段上运动.已知这个东西现在处在B点.但是它立即离开了B点了.在它离开B点之后,它所处的位置肯定是在另一个点上的.因为线纯粹是由点构成,而A本身也是点.但是它处在一个什么样的点上呢?当它处在B点时,我们能够精确地测到它处在B点,但是当它离开B点时我们却无法知道它处在一个什么点上了.因为在一个方向上,与B点相邻的是无限多个点,决找不到一个与B点唯一相邻的点.这样就陷入一个荒谬的境地.当它处在B点时,我们能精确地知道它处在什么点上.而它离开了B点我们却不能知道它处在什么点上了.而数学是最讲究精确的.在数学上,常常需要精确地定义物处在坐标的位置.他们精确地定义了绝对0,却使得他们陷入了无法精确定义物所在的位置的结果.
所以陷入如此尴尬的境地,原因只有一个,抱着绝对0的观点不放.
黑格尔说过这样的意思:所谓的运动,就是物同时既在这一点上又不在这一点上.
对于黑格尔的这个话,我用数学语言翻译为:作机械运动的物体就在于在同一个时间点上物与某一点的距离既是0又不是0.可是数学上却不能接受这样的语言.认为这样的语言只能是哲学语言.在数学语言上是不能成立的.
其实这里所谓的同一个时间点上,严格地说来,是既在这个时间点上又不在这个时间点上.
数学家之所以不能接受这样的语言,主要是认为这样不能对物的运动作精确的定量的分析(其实是可以作精确的定量分析的).但是离了这个却不能解释物的机械运动.我们的数学家们又如何能够离开这个而对机械运动进行描述呢?
物从在某一点上转到不在这一点上.这个过程是如何发生的呢?如果我们承认0与非0之间存在着绝对的分割线.那么首先我们关于物同时既在这一点上又不在这一点上这种表述就不能成立.而且这个话的意思只能是,当物处在这一点上时.它与这一点的距离是0是主要的,而它与这一点的距离不是0是次要的.而当它离开了这一点时,它与这一点的距离是0仍是存在的,只是它与这一点的距离不是0是主要的,而是0则是次要的.
从对物的描述来看.如果我们离开了相对的0,而使只用绝对的0,我们根本就没办法对这个机械运动作精确的描述.
可是我们的数学家为了他们的绝对的0,对这个精确他们就不要了.
我们知道物在空间点上的移动是既在这个空间点上又不在这个空间点上,而物在时间点上的移动同样的是既在这一点上又不在这一点上.这样我们可以精确地描述出物在空间的移动与在时间的移动的对应关系.
我们不妨设一个物在直线上作匀速运动.它所用的时间与它所走过的空间是对应的.当它在时间上与某一个时间点上的距离是0的时候,它在空间上必然也与某一个空间点的距离为0.当它与某一个时间点的距离不是0时,它与某一个空间点的距离也同样的不是0(在运动中).
更重要的是,物是如何实现与某一点的距离是0向与某一点的距离不是0的转化的呢?原因则在于这个是0与非0的斗争.当这个非0战胜了这个是0,则物就离开了这一点了.这就是一个从量变到质变的过程.可是,如果我们不舍弃绝对0的观点,则在物与某一个点的距离是0中是不包含着非0的,那么在物的内部是不可能存在着是0与非0的斗争的.从哲学上来说,可以断定的是,如果在0中不存在非0,则0是决不可能转化为非0的.
我们再来看芝诺悖论.
古希腊爱利亚学派的芝诺提出了四个运动悖论，其中前三个影响最大。
1、 两分法：一个物体要从A点运动到B点，它必须首先到达A、B这段距离的中点C，而它要从A到达C点，必须先到达A、C的中点D，这样无限的推下去，物体永远也不可能到达目的地，也可以说它根本就无法运动。
2、 阿基里斯追不上乌龟：阿基里斯擅长长跑，可是他追不上乌龟。开始赛跑前，乌龟在人的前方一段距离处，人要追上乌龟，首先要到达乌龟的出发点，而在这段时间内，乌龟已向前爬行一段距离，每当人运动到乌龟先前所在的位置时，乌龟都向前爬行一段距离，这样人只能无限接近乌龟，而永远不可能追上它。
3、 飞矢不动：任何物体在占据一个与自身体积相等的空间时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间都占据与自身相等的空间，所以它是静止的。
这三个悖论是最出名的,也是一体的.
从前面的分析我们可以知道,两分法所得到的无穷多个无穷小段所组成的集合是一个可数集合.我们设把一段有限的线段按照一分为二二分为四四分为八无限分割后,所得到的每一小段的长度为0.但是每两小段相加得到的长度不是0.也就是说,我们所得到的这每一小段都是一个点.这意味着,这上面的所有的点是一个个地相互挨着的.与物的终点相联结的必有一个唯一的点.也就是说,在这个点与终点之间是没有中点的.
然则这是在以一定的长度为标尺而得到的结果(这个长度就是在这种条件下两个相加不是0,一个是0).如果缩小这个标尺,我们可以看到,这每一个点都不再是一个点,它又可以分割成更多的点.但是任何标尺只要满足e>0.我们继续分割,最终总是可以得到所有的小段都是长度为0的点.我们总是可以在终点之前找到一个与终点唯一相联结的点.这样芝诺关于任何两个点之间必然存在一个中点的观点就不复成立.
这个问题在绝对0的理论中是永远无法解决的.只有引进相对0的观点,我们才能解决这个问题.这是攻克两分法的要点.
简单地说,芝诺说:你可以走过无穷多个点,但你与终点之间永远有一个中点.所以你永远到不了终点.
而我说,我们可以走过无限多个点,而且我们必然能够走到这样的一个点上,它与终点间没有中点.
但以上的说法总感觉到存在着某种缺陷.
上面是精确的定量的说明.但上面的理论基于一个条件,这个条件就在于基本上是承认绝对的时间和绝对的空间的.可是我们知道,在相对论和量子理论中并不存在着绝对的时间和绝对的空间.而我们研究的对象是物的运动.所以也许只有用相对论或者量子理论才是解决这个悖论的终极的办法.但在这里,我们更应该引进相对0的观点.如果不能引进相对0的观点,则我们将会束手无策.我们同样的可以抽象地模糊地说明:物在到达与终点的距离为无穷小量的时候,物与终点的距离就在于既不是0又是0.这样在物与终点之间不存在一个绝对的分割线.而芝诺悖论则认为,在物到达终点之前,物与终点之间总是存在着一个绝对的分割点的.这就是这个中点.我们否认了物与终点之间存在着绝对的分割点,这样芝诺悖论的观点也就不攻自破.这种论证的另一种说法是,我们根本就无法准确地定义物所在的位置.按照所谓的测不准原理.我们对物的位置测得越准.我们对物的速度测得则是越不准.反之也是.但所谓的测不准原理好象是引进了人对物的测量影响了物的运动.但是在没有人的测量之时,物的运动是确定的吗?恐怕这种测不准原理是不彻底的.我们现在要研究的就是在没有人的干预下物的运动是不是确定的问题.
物在这种极微的尺度下(无穷小量),物的速度和物的位置是无法同时被测准的.我们不妨这样认为,对于一段有限的时间段进行无限分割,我们所得到的每一小段的时间的长度将是无法确定的.我们无法精确地定义某一个时间点在前,某一个时间点在后.同样的,对于空间,在同一个方向上,我们也无法准确地定义某一个空间点在前和某一个空间点在后.因为任何物在某一个时间点与不在这个时间点上是共存的.我们并不能准确地知道它在这一点是主要的还是不在这一点上是主要的.从一定的意义上来说,我们在这时讨论先后已经没有意义了.原因可能在结果之前,也可能在结果之后.
时间一定是按照从过去到现在到将来的顺序流逝的吗?回答可能不是:因为当我们说物处在一个时间点上时它同时又不在这个时间点上.那么何者为主呢?这具有不可以确定性.物经过一个时间点也许是按照这样的过程进行的.在这个时间点上是主要的向不在这个时间点上是主要的转化,但这种转化可以再转化为在这个时间点上是主要的.也就是说,先与后没有了绝对的区分,时间也许按照先后先这样地运动.
同样的空间点上的运动也是这样的.在宏观上一直向前的物,它在这种无穷小量的尺度的运动却可能是向前向后再向前这样的运动.这样,我们无法准确地知道物所在的位置是哪里.
也就是说,时间的先后没有办法精确地区分,在一个方向的空间的前后也是没有办法精确地区分.
并且物可能不经历现在而直接从过去到了将来.物不经历一个必经的空间点而到达了它的目的点.
所以物在时间上的运动可能是按照先后先这样的过程进行的,并且这种先后的转化是没有规律可言的.而在微观上一直向前的物的运动在无穷小量的范围内的运动则可能是在前在后再在前这样进行的,并且这种前后的转化也是没有规律性可言的.
这样芝诺悖论的基础就彻底地不存在了.
至于说到飞矢不动的悖论,黑格尔的话在实事上就已经驳倒了这个悖论.只是黑格尔的话没有指明定量分析的要点在哪里.至于说到阿基里斯追龟.我们设乌龟相对于人的速度是0.而人的速度相对于乌龟是v.这样阿基里斯追龟的问题与两分法的问题就完全相同了.
对芝诺悖论的几种错误驳斥:
认为在实践上很容易地就驳倒了芝诺悖论.这种观点的错误就在于,不知道只在实践上驳倒了一种观点并不能终极地驳倒一种观点.实践驳倒芝诺悖论是容易的.但只有实践上的驳倒则是不彻底的,这就是为什么这个悖论一直困扰了人们几千年的原因所在了.因为如果在理论上不能驳倒,则可以解释为你在实践上所见到的都是表象,而不是事物的真实.这就是要点所在. 我们在实践中所获得的感性认识有真象也有假象.有些事在感觉上是真实的,最终被理性推翻.有些东西在感觉上是错误的,最终为理性所证明是真实的.所以如果感觉和理性不统一,则有两种可能,一种是感觉错了,一种是理性错了.如果我们在感觉上感到了一事是荒谬的,而我们在理性上却不能得到这个事是荒谬的结论,则二者必有一错.但错未必是理性!所以我们对真理的追求就在于追求理论与实践的统一,感性与理性的统一.没有感性与理性的统一,这个感性不能说是可靠的!
认为可以通过极限求和的办法解决这个问题.物经过第一个中点再经过第二个中点再经过第三个中点.这个过程是无限的.运用数学上的极限求和的办法可以很简单地求取物在这个无限的过程中所走过的路程是有限的,所用的时间也是有限的.但我们不通过极限求和的办法我们也能知道这个距离和时间是有限的.并且芝诺悖论的要点就是从根本上否认了物在空间上能移动和在时间上能移动.你算出了物经历这无限的点后所走过的路程和所用的时间是有限的对芝诺悖论毫无意义.这种驳斥等于没有驳斥.
有一种所谓芝诺钟的观点:
芝诺悖论关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测定时间的任何一种“钟”，都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用循环或重复运动的次数作为时间的测量标准的。
芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，这就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。用这种重复性过程测得的时间称为芝诺时。例如，当阿基里斯第N次到达乌龟在第N次的起点时，芝诺时记为N，这样，在芝诺时为有限的时刻，阿基里斯总是落在乌龟的后面。但是在我们的钟表上，假如阿基里斯跑完一百米用了一分钟，那么他到达第二次乌龟的起点要六秒钟，下一次要0.6秒，实际上，他只需要分1钟就可以追上乌龟了。因此，芝诺时的产生原因，是在于“芝诺时”不可能测量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法测量它们了。
这种观点有一个前提,就是承认时间是运动的而不是静止的,时间可以从过去到现在再到将来.但是芝诺悖论的要点则在于否认了时间是运动的观点.你要从时间A点到达时间B点,你就先得经过AB之间的中点C吧!到达了C点你又得经过CB之间的中点D吧!......这样在时间上的运动与在空间上的运动就在性质上完全一样了.你只有驳倒了它的时间是静止的观点,才能以这个为前提来驳斥它的物在空间不能运动的观点.否则就不能以这个为前提.
黑格尔对芝诺悖论的解决是：“运动的意思是说：在这个地点又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，──并且这才是使得运动可能的条件。”这个解决方法要点在于强调时间空间的连续性，而且对连续性赋与新的、特有的解释。不过，它似乎并没有直接针对芝诺论辨本身来提出批评，而且关于连续性的独特解释与数学和逻辑所要求的精确性不相容。
黑格尔的观点是对的,但他没有明确地指出所谓的0与非0是可以相互转化的(在他的思想中隐含了这一思想).并且如果不能驳倒两分法悖论,则关于飞矢不动的驳斥是无力的.
认为时间不是无限可分的,空间也不是无限可分的.这样好象解决了这个芝诺悖论.但在解决了一个悖论后又陷入了另一个悖论中去了.
(全文完)
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